Question

5．若關于x的方程x²-xlnx+2=k（x+2）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上有兩解，則實數k的取值范圍為（　　）

• A． （1，$\frac{9}{10}$+$\frac{ln2}{5}$]
• B． （1，+∞）
• C． （1，$\frac{9}{10}$+$\frac{ln2}{5}$）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 設f（x）=x²-xlnx+2，判斷f（x）的單調性，求出y=k（x+2）與f（x）相切和過點（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））時的斜率，即可得出k的范圍．

解答 解：令f（x）=x²-xlnx+2，則f′（x）=2x-lnx-1，
f″（x）=2-$\frac{1}{x}$，
∵x$≥\frac{1}{2}$，∴f″（x）≥0，
∴f′（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上單調遞增，
∴f′（x）≥f（$\frac{1}{2}$）=-ln$\frac{1}{2}$=ln2＞0，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上單調遞增，
作出y=f（x）與y=k（x+2）的函數圖象如圖所示：

設y=k₁（x+2）經過點（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）），又f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{4}$-$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{4}+\frac{1}{2}ln2$，
∴k₁=$\frac{\frac{9}{4}+\frac{1}{2}ln2}{\frac{1}{2}+2}$=$\frac{9}{10}+\frac{ln2}{5}$，
設y=k₂（x+2）與f（x）的圖象相切，切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={k}_{2}（{x}_{0}+2）}\\{{y}_{0}={{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}ln{x}_{0}+2}\\{2{x}_{0}-ln{x}_{0}-1={k}_{2}}\end{array}\right.$，解得x₀=1，y₀=3，k₂=1，
∵關于x的方程x²-xlnx+2=k（x+2）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上有兩解，
∴y=f（x）與y=k（x+2）有兩個交點，
∴1＜k≤$\frac{9}{10}+\frac{ln2}{5}$．
故選A．

點評 本題考查了函數零點個數與函數圖象的關系，函數單調性的判斷，屬于中檔題．