Question

1．微信是騰訊公司推出的一種手機通訊軟件，一經推出便風靡全國，甚至涌現(xiàn)出一批在微信的朋友圈內銷售商品的人（被稱為微商）．為了調查每天微信用戶使用微信的時間，某經銷化妝品的微商在一廣場隨機采訪男性、女性用戶各50名，其中每天玩微信超過6小時的用戶為“A組”，否則為“B組”，調查結果如下：

	A組	B組	合計
男性	26	24	50
女性	30	20	50
合計	56	44	100

（Ⅰ）根據以上數(shù)據，能否有60%的把握認為“A組”用戶與“性別”有關？
（Ⅱ）現(xiàn)從調查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人贈送營養(yǎng)面膜1份，求所抽取5人中“A組”和“B組”的人數(shù)；（Ⅲ）從（Ⅱ）中抽取的5人中再隨機抽取3人贈送200元的護膚品套裝，記這3人中在“A組”的人數(shù)為X，試求X的分布列與數(shù)學期望．
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d為樣本容量．
參考數(shù)據：

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
k0	0.455	0.708	1.323	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）由2×2列聯(lián)表，計算K²，對照臨界值表得出結論；
（2）根據分層抽樣比例求出所抽取的5位女性中，A組、B組應抽取的人數(shù)；
（3）X的所有可能取值為1，2，3，計算對應的概率，寫出分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）由2×2列聯(lián)表可得
K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
=$\frac{100{×（26×20-30×24）}^{2}}{56×44×50×50}$≈0.649＜0.708；
沒有60%的把握認為“A組”用戶與“性別”有關；
（2）由題意得，所抽取的5位女性中，
“A組”有5×$\frac{30}{50}$=3人，
“B組”有5×$\frac{20}{50}$=2人；
（3）X的所有可能取值為1，2，3，
則P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
所有X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

其數(shù)學期望為EX=1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{5}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗與分層抽樣原理以及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的計算問題，是綜合題．