Question

2．已知正項等比數列{a_n}中，a₁=2，a₂a₆=256．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若a₃，a₅分別為等差數列{b_n}的第3項和第5項，求數列{b_n}的通項公式及前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：a₂=a₁•q，a₆=a₁•q⁵，由a₂a₆=256，即${a}_{1}^{2}$•q⁶=256，即可求得q=2，根據等比數列通項公式即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知：b₃=8，b₅=32，設{b_n}的公差為d，由$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+2d=8}\\{{b}_{1}+4d=32}\end{array}\right.$，求得數列{b_n}是以-16為首項．以12為公差的等差數列，根據等差數列通項公式及前n項和公式即可求得數列{b_n}的通項公式及前n項和S_n．

解答 解：（1）設{a_n}的公比為q，a₂=a₁•q，a₆=a₁•q⁵，
由a₂a₆=256．即${a}_{1}^{2}$•q⁶=256，解得：q=2，
由等比數列通項公式可知：a_n=a₁•q^n-1=2ⁿ，
數列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ；-------------------------（6分）
（2）由（1）得a₃=8，a₅=32，
則b₃=8，b₅=32，設{b_n}的公差為d，
則有$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+2d=8}\\{{b}_{1}+4d=32}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=-16}\\{d=12}\end{array}\right.$，
∴數列{b_n}是以-16為首項．以12為公差的等差數列，
由等差數列通項公式可知：b_n=b₁+（n-1）d=12n-28，
數列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{n（-16+12n-28）}{2}$=6n²-22n，
數列{b_n}的前n項和S_n，S_n=$\frac{n（-16+12n-28）}{2}$=6n²-22n．-------------------------（12分）

點評 本題考查等差數列通項公式及前n項和公式，考查等比數列通項公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．