Question

13．已知數列{a_n}的前n項和為S_n滿足S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，則{a_n}的通項公式${a}_{n}=（-2）^{n-1}$．

Answer 1

分析 由數列遞推式求出數列首項，進一步得到數列{a_n}是以1為首項，以-2為公比的等比數列，再由等比數列的通項公式得答案．

解答 解：由S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，得${a}_{1}={S}_{1}=\frac{2}{3}{a}_{1}+\frac{1}{3}$，解得a₁=1；
當n≥2時，由S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，得S_n-1=$\frac{2}{3}$a_n-1+$\frac{1}{3}$，
兩式作差可得${a}_{n}=\frac{2}{3}{a}_{n}-\frac{2}{3}{a}_{n-1}$，
即a_n=-2a_n-1 （n≥2），
∴數列{a_n}是以1為首項，以-2為公比的等比數列，
則${a}_{n}=1×（-2）^{n-1}=（-2）^{n-1}$．
故答案為：${a}_{n}=（-2）^{n-1}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了等比數列通項公式的求法，是中檔題．