Question

4．給出下列命題：
①命題“若方程ax²+x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a≤$\frac{1}{4}$”的逆否命題是真命題；
②“函數(shù)f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π，”是“a=1”的必要不充分條件；
③函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；
④冪函數(shù)y=x^α（α∈R）的圖象恒過定點(diǎn)（0，0），
其中正確的個(gè)數(shù)（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①a=0時(shí)，方程ax²+x+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，原命題與逆否命題同真假；
②f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax其最小正周期為π，則a=±1；
③函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)f（x）=2^x與y=x²的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）=2^x與y=x²圖象可判定；
④冪函數(shù)y=x^α中α＜0時(shí)，圖象不點(diǎn)（0，0）．

解答 解：對(duì)于①，a=0時(shí)，方程ax²+x+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，原命題假，原命題與逆否命題同真假，故錯(cuò)；
對(duì)于②，f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax其最小正周期為π，則a=±1，故正確；
對(duì)于③，函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)f（x）=2^x與y=x²的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，x=2、4時(shí)，2^x-x²=0，x＜0有一個(gè)，其交點(diǎn)有3個(gè)，故錯(cuò)；
對(duì)于④，冪函數(shù)y=x^α中α＜0時(shí)，圖象不點(diǎn)（0，0），故錯(cuò)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題真假的判定，需要大量的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．