Question

11．設直線系M：xcosθ+（y-1）sinθ=1（0≤θ≤2π），對于下列說法：
（1）M中所有直線均經過一個定點；
（2）存在一個圓與所有直線不相交；
（3）對于任意整數n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；
（4）M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
其中說法正確的是（2）、（3） （填序號）．

Answer 1

分析 先弄清直線系M中直線的特征，直線系M表示圓 x²+（y-1）²=1 的切線的集合，再判斷各個結論的正確性．

解答 解：（1）由直線系M：xcosθ+（y-1）sinθ=1（0≤θ≤2π），
可令   $\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$，
消去θ可得  x²+（y-1）²=1，故 直線系M表示圓 x²+（y-1）²=1 的
切線的集合，故（1）不正確．
（2）因為xcosθ+（y-1）sinθ=1所以點P（0，1）到M中每條直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{cos}^{2}θ{+sin}^{2}θ}}$=1，
即M為圓C：x²+（y-1）²=1的全體切線組成的集合，
所以存在圓心在（0，1），
小于1的圓與M中所有直線均不相交，故（2）正確；
（3）由于圓 x²+（y-1）²=1 的外切正n 邊形，所有的邊都在直線系M中，
故（3）正確．
（4）M中的直線所能圍成的正三角形的邊長不一等，故它們的面積不一定相等，
如圖中等邊三角形ABC和 ADE面積不相等，故（4）不正確．
綜上，正確的命題是 （2）、（3），
故答案為：（2）、（3）．

點評 本題考查直線系方程的應用，要明確直線系M中直線的性質，依據直線系M表示圓 x²+（y-1）²=1 的切線的集合，結合圖形，判斷各個命題的正確性．