Question

如圖，在四棱錐P-ABCED中，PD⊥面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=PA=2AD=4，
（1）若E為PC中點，求證：PA∥平面BDE
（2）求三棱錐D-BCP的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結AC，BD，交于點O，連結OE，則OE∥AP，由此能證明PA∥平面BDE．
（2）求出S_△BDC=

1

2

×4×2×sin60°=2

3

，PD=

16-4

=2

3

，由VD-BCP=VP-DBC=

1

3

S△DBC•PD，能求出三棱錐D-BCP的體積．

解答： （1）證明：連結AC，BD，交于點O，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴O是AC中點，
∵E是PC中點，∴OE∥AP，
又AP?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）解：∵S_△BDC=

1

2

×4×2×sin60°=2

3

，
PD=

16-4

=2

3

，
∴VD-BCP=VP-DBC=

1

3

S△DBC•PD=

1

3

×2

3

×2

3

=4．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養．