Question

已知函數f（x）=

a(x-b)

(x-b)2+c

（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n（m，n∈R，且mn＞0），給出下列命題，①函數f（x）的圖象關于點（b，0）成中心對稱；②存在實數p和q，使得p≤f（x）≤q對于任意實數x恒成立；③關于x的方程g（x）=0的解集可能為{-4，-2，0，3}其中正確的是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、①③
• D、①②③

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：判斷函數y=

ax

x2+c

(a≠0)為奇函數結合函數圖象平移說明①正確；
求出函數y=

ax

x2+c

(a≠0)的值域，再由f（x）與函數y=

ax

x2+c

(a≠0)的值域相同說明②正確；
把方程g（x）=0變形后得到0不可能在方程的解集中說明③錯誤．

解答： 解：①，∵函數y=

ax

x2+c

(a≠0)為定義域內的奇函數，∴其圖象關于（0，0）中心對稱，
又f（x）=

a(x-b)

(x-b)2+c

是把y=

ax

x2+c

(a≠0)向右平移1個單位得到的，則函數f（x）的圖象關于點（b，0）成中心對稱，命題①正確；
②，∵c＞0，函數y=

ax

x2+c

(a≠0)的定義域為R，y=

ax

x2+c

(a≠0)=

a

x+ c x

，
當x＞0時，x+

c

x

≥2

c

，

1

x+ c x

∈(0，

c

2c

]，若a＞0，

a

x+ c x

∈（0，

a c

2c

]；若a＜0，

a

x+ c x

∈[

a c

2c

，0）．
當x＜0時，x+

c

x

=-[(-x)+

c

-x

]≤-2

c

，

1

x+ c x

∈[-

c

2c

，0)，
若a＞0，

a

x+ c x

∈[-

a c

2c

，0）；若a＜0，

a

x+ c x

∈（0，-

a c

2c

]．
而f（x）與函數y=

ax

x2+c

(a≠0)的值域相同，
∴存在實數p和q，使得p≤f（x）≤q對于任意實數x恒成立，命題②正確；
③，方程g（x）=0，即m[f（x）]²-n=0，也就是[f(x)]2=

n

m

，
∵mn＞0，∴

n

m

＞0，則函數h（x）=[f（x）]²的圖象與y=

n

m

無交點，
∴0不可能在方程g（x）=0的解集中，命題③錯誤．
∴正確的命題是①②．
故選：A．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數的性質，考查了函數圖象的平移，是中檔題．