Question

已知兩定點A（-1，0）和B（1，0），動點P（x，y）在直線l：y=x+2上移動，橢圓C以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的離心率的最大值為（　　）

• A、

  5

  5

• B、

  2

  2

• C、

  2

  10

• D、

  2

  5 +1

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：作出直線y=x+2，過A作直線y=x+2的對稱點C，2a=|PA|+|PB|≤|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由離心率公式即可得到．

解答： 解：由題意知c=1，離心率e=

c

a

，
橢圓C以A，B為焦點且經過點P，
則c=1，
∵P在直線l：y=x+2上移動，
∴2a=|PA|+|PB|．
過A作直線y=x+2的對稱點C，
設C（m，n），則由

n m+1 =-1 1 2 n= 1 2 (m-1)+2

，
解得，

m=-2 n=1

即有C（-2，1），
則此時2a=|PA|+|PB|≤|CD|+|DB|=|BC|=

10

，
此時a有最小值

10

2

，
對應的離心率e有最大值

10

5

，
故選C．

點評：本題主要考查橢圓的定義和橢圓的離心率的求法，考查直線的對稱問題，屬于中檔題．