Question

13．橢圓的中心在原點，一個焦點為$F（{0，\sqrt{50}}）$且該橢圓被直線y=3x-2截得的弦的中點的橫坐標為$\frac{1}{2}$，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 先根據焦點坐標得出a²-b²=50，根據直線方程求出AB中點為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．再設而不求的方法求得AB的斜率與中點坐標之間的關系式，求出a²=3b²，聯解兩式即可得到該橢圓的標準方程．

解答 解：由題意可知：橢圓的焦點在y軸上，$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=$\sqrt{50}$，
則a²-b²=50，①
又設直線3x-y-2=0與橢圓交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點（x₀，y₀）
∵x₀=$\frac{1}{2}$，∴代入直線方程得y₀=$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{y}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得$\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=0，
∴AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$•$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=3
∵$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=-1，∴a²=3b²，②
聯解①②，可得a²=75，b²=25，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{75}=1$；
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{75}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查點差法的應用，考查計算能力，屬于中檔題．