Question

3．已知函數f（x）=2x³-3ax²，a∈R．
（1）若a=2，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）對任意的x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）≥f'（x₂）（其中f'（x）為函數f（x）的導數）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（1），f（1）的值，求出切線方程即可；
（2）問題轉化為f（x₁）_min≥f′（x₂）_min，求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，求出f（x）的最小值以及f′（x）的最小值，得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）a=2時，f（x）=2x³-6x²，
f′（x）=6x²-12x，f′（1）=-6，f（1）=-4，
故f（x）在x=1處的切線方程為：y=-6x+2；
（2）對任意的x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）≥f'（x₂）成立，
得f（x₁）_min≥f′（x₂）_min，f′（x）=6x（x-a），
①a≤0時，f（x）在[0，2]遞增，故f（x）在[0，2]的最小值是0，
f′（x）在[0，1]的最小值是0，f（x₁）_min≥f′（x₂）_min成立；
②0＜a＜2時，f（x）在[0，a]遞減，在[a，2]遞增，
故f（x）在[0，2]的最小值是f（a）=-a³，f′（x）在[0，1]的最小值是f′（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{3}{2}$a²，
由f（x₁）_min≥f′（x₂）_min得：-a³≥-$\frac{3}{2}$a²，得0＜a≤$\frac{3}{2}$；
③a≥2時，f（x）在[0，2]遞減，故f（x）在[0，2]的最小值是f（2）=16-12a，
f′（x）在[0，1]的最小值是f′（1）=6-6a，
由f（x₁）_min≥f′（x₂）_min得：16-12a≥6-6a，無解，
綜上，a的范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．