Question

11．設(shè)偶函數(shù)f（x）=$cos（\frac{π}{ω}x-φ）$，其中ω＞0，0≤φ＜2π．
（1）求φ的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，當(dāng)ω取得最小值時，求f（1）+f（2）+…+f（2017）的值；
（3）在（2）的條件下，若g（x）=-2f²（x-$\frac{3}{2}$）-f（x+$\frac{3}{2}$），且對任意的x₁，x₂∈[-$\frac{3}{2π}$，$\frac{11}{2π}$]，8|g（x₁）-g（x₂）|≤$\sqrt{3}$m+3恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的奇偶性，求得φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用余弦函數(shù)的周期性，可得f（x）的周期性，從而求得f（1）+f（2）+…+f（2017）的值．
（2）正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的值域，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得g（x）的最大值，再根據(jù)此最大值小于或等于$\sqrt{3}$m+3，求得m的范圍．

解答 解：（1）∵偶函數(shù)f（x）=$cos（\frac{π}{ω}x-φ）$，其中ω＞0，0≤φ＜2π，∴φ=π．
（2）由（1）可得f（x）=-cos（$\frac{π}{ω}$x ），函數(shù)f（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，
∴$\frac{π}{ω}•3$≤π，求得ω≥3，
故ω的最小值為3，此時，f（x）=-cos（$\frac{π}{3}$x ）的最小正周期為$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6，
且f（1）+f（2）+…+f（6）=-$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）+1+（$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）+（-1）=0，
f（1）+f（2）+…+f（2017）=336•[f（1）+f（2）+…+f（6）]+f（2017）
=336•0+f（1）=-$\frac{1}{2}$．
（3）在（2）的條件下，$g（x）=-2{f^2}（x-\frac{3}{2}）-f（x+\frac{3}{2}）$=-2•${cos}^{2}[\frac{π}{3}（x-\frac{3}{2}）]$+cos$\frac{π}{3}$（x+$\frac{3}{2}$）
=-2${sin}^{2}\frac{π}{3}x$-sin$\frac{π}{3}$x，
∵對任意的${x_1}，{x_2}∈[-\frac{3}{2π}，\frac{11}{2π}]$，∴$\frac{π}{3}$x₁、$\frac{π}{3}$x₂∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{6}$]，
∴sin$\frac{π}{3}$x∈[-sin$\frac{1}{2}$，1]，故g（x）=-2${sin}^{2}\frac{π}{3}x$-sin$\frac{π}{3}$x=-2${（sin\frac{π}{3}x+\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{8}$，
當(dāng)sin$\frac{π}{3}$x=-$\frac{1}{4}$時，g（x）取得最大值為$\frac{1}{8}$，當(dāng)sin$\frac{π}{3}$x=1時，g（x）取得最小值為-3．
再根據(jù)$8|g（{x_1}）-g（{x_2}）|≤\sqrt{3}m+3$恒成立，可得|g（x₁）-g（x₂）|的最大值為$\frac{1}{8}$+3=$\frac{25}{8}$，
故有8•$\frac{25}{8}$≤$\sqrt{3}$m+3，求得m≥$\frac{22\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性和周期性，二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．