Question

18．已知$\sqrt{3}$sinα+cosα=m，其中$α∈（0，\frac{π}{2}）$，則實數(shù)m的取值范圍是（1，2]．

Answer 1

分析 把已知等式的左邊提取2后，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域，得到左邊式子的范圍，進而列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍．

解答 解：∵已知$\sqrt{3}$sinα+cosα=m，∴2sin（α+$\frac{π}{6}$）=m，∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{m}{2}$，
∵其中$α∈（0，\frac{π}{2}）$，∴α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），∴sin（α+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
即$\frac{m}{2}$∈（$\frac{1}{2}$，1]，∴1＜m≤2，
則實數(shù)m的取值范圍是（1，2]．

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，解題思路為：利用三角函數(shù)的恒等變換把已知等式左邊化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域列出不等式來解決問題，屬于中檔題．