Question

6．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-2，x≥0\\{log_{\frac{1}{2}}}（{-x}），x＜0\end{array}\right.$，若f[f（m）]＜0，則實數m的取值范圍為（　　）

• A． $（{-3，-1}]∪（{-\frac{1}{2}，1}]∪（{2，+∞}）$
• B． $（{-∞，-2}]∪（{-1，-\frac{1}{2}}]∪（{1，{{log}_2}3}）$
• C． $（{-∞，-1}]∪（{0，\frac{1}{2}}]∪（{1，+∞}）$
• D． （-∞，-3]∪（-1，0]∪（1，log₂3）

Answer 1

分析 由已知中函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-2，x≥0\\{log_{\frac{1}{2}}}（{-x}），x＜0\end{array}\right.$，若f[f（m）]＜0，則f（m）∈[0，1）∪（-∞，-2），進而得到實數m的取值范圍．

解答 解：∵函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-2，x≥0\\{log_{\frac{1}{2}}}（{-x}），x＜0\end{array}\right.$，
若f[f（m）]＜0，則f（m）∈[0，1）∪（-∞，-2），
當m≥0時，由2^m-2∈[0，1）得：m∈（1，log₂3），
當m＜0時，由${log}_{\frac{1}{2}}（-m）$∈[0，1）∪（-∞，-2）得：$（-∞，-2]∪（-1，-\frac{1}{2}]$
故m∈$（-∞，-2]∪（-1，-\frac{1}{2}]∪（1，{log}_{2}3）$，
故：B

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，指數函數的圖象和性質，對數函數的圖象和性質，難度中檔．