Question

15．已知雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2c，直線y=$\sqrt{3}$（x+c）與雙曲線的一個交點M滿足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，則雙曲線的離心率為1$+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知直線過左焦點F₁，且其傾斜角為60°，∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，可得∠MF₁F₂=60°，∠MF₂F₁=30°，即F₁M⊥F₂M，運用直角三角形的性質(zhì)和雙曲線的定義，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：∵直線y=$\sqrt{3}$（x+c）過左焦點F₁，且其傾斜角為60°，
∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，
∴∠MF₁F₂=60°，∠MF₂F₁=30°．
∴∠F₁MF₂=90°，即F₁M⊥F₂M．
∴|MF₁|=$\frac{1}{2}$|F1F2|=c，|MF₂|=|F1F2|sin600=$\sqrt{3}$c，
由雙曲線的定義有：|MF₂|-|MF₁|=$\sqrt{3}$c-c=2a，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案為：1$+\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的定義和直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義，考查運算能力，屬于中檔題．