Question

6．若實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{4x+3y≤12}\end{array}\right.$，則z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{2}{3}$，5]
• B． [$\frac{3}{2}$，11]
• C． [$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{3}$]
• D． [$\frac{1}{5}$，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，化簡目標函數，利用目標函數的幾何意義，求解z的斜率范圍．

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{4x+3y≤12}\end{array}\right.$表示的區域如圖，
則z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$=1+2$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義是可行域內的點與點（-1，-1）構成的直線的斜率的2倍加1的問題．
當取得點A（0，4）時，
則z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的值為11，
當取得點B（3，0）時，
則z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的取值為$\frac{3}{4}$，
所以答案為[$\frac{3}{4}$，11]，
故選：B．

點評 本題利用直線斜率的幾何意義，求可行域中的點與原點的斜率．本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．