Question

18．設函數f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx．
（1）若f（x）在x=$\frac{1}{4}$處的切線與直線4x+y=0平行，求a的值；
（2）討論函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，函數的導數，利用斜率求出a，即可．
（2）化簡函數的導數，通過①當a≥0時，②當a＜0時，分別求解函數的單調區間即可．

解答 解：（1）由題知f（x）的定義域為（0，+∞），且$f'（x）=\frac{{4a{x^2}+（a+4）x+1}}{x}$．
又∵f（x）的圖象在$x=\frac{1}{4}$處的切線與直線4x+y=0平行，
∴$f'（\frac{1}{4}）=-4$，即$4[4a×\frac{1}{16}+（a+4）×\frac{1}{4}+1]=-4$．解得a=-6．…（6分）
（2）$f'（x）=\frac{{4a{x^2}+（a+4）x+1}}{x}=\frac{（4x+1）（ax+1）}{x}$，由x＞0，知$\frac{4x+1}{x}$＞0．
①當a≥0時，對任意x＞0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
②當a＜0時，令f'（x）=0，解得$x=-\frac{1}{a}$，
當$0＜x＜-\frac{1}{a}$時，f'（x）＞0，當$x＞-\frac{1}{a}$時，f'（x）＜0，
此時，f（x）的單調遞增區間為$（0，-\frac{1}{a}）$，遞減區間為$（-\frac{1}{a}，+∞）$．…（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的單調性與極值，切線方程的應用，考查轉化思想以及計算能力．