Question

7．（1）求不等式|x-1|+|x-2|-3＞0的解集；
（2）已知a₁，a₂，…，a_n∈R，且a₁•a₂•…•a_n=1，求證：（1+a₁）•（1+a₂）…（1+a_n）≥2ⁿ．

Answer 1

分析 （1）對x的范圍進行討論，去絕對值符號解出；
（2）利用基本不等式證明．

解答 （1）解：當x＜1時，不等式化為1-x+2-x-3＞0，解得x＜0；
當1≤x≤2時，不等式化為x-1+2-x-3＞0，方程無解；
當x＞2，不等式化為x-1+x-2-3＞0，解得x＞3．
綜上，不等式的解集為{x|x＜0或x＞3}．
（2）證明：∵a₁，a₂，…，a_n∈R，
∴1+a₁≥2$\sqrt{{a}_{1}}$，1+a₂≥2$\sqrt{{a}_{2}}$，…，1+a_n≥2$\sqrt{{a}_{n}}$，
∴（1+a₁）•（1+a₂）…（1+a_n）≥2ⁿ•$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$=2ⁿ．
當且僅當a₁=a₂=…=a_n=1時取等號．

點評 本題考查了含絕對值的不等式的解法，基本不等式的應用，屬于中檔題．