Question

11．數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=3n²+2n，數列{b_n}為等差數列，a_n=b_n+b_n+1
（1）求{b_n}的通項公式．
（2）c_n=$\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{{{（{b_n}+2）}^n}}}$，求{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由S_n=3n²+2n，可得數列{a_n}是等差數列，可得a_n=6n-1=b_n+b_n+1．設等差數列{b_n}的公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+{b}_{2}=5}\\{{b}_{2}+{b}_{3}=11}\end{array}\right.$，即可得出b_n．
（2）c_n=$\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{{{（{b_n}+2）}^n}}}$=3n×2ⁿ⁺¹，利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=3n²+2n，∴數列{a_n}是等差數列，首項a₁=S₁=5，
∵5+a₂=3×2²+2×2，解得a₂=11，
∴公差=11-5=6，∴a_n=5+6（n-1）=6n-1．∴6n-1=b_n+b_n+1．
設等差數列{b_n}的公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+{b}_{2}=5}\\{{b}_{2}+{b}_{3}=11}\end{array}\right.$，
∴2d=11-5=6，解得d=3，∴2b₁+3=5，解得b₁=1．
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2．
（2）c_n=$\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{{{（{b_n}+2）}^n}}}$=$\frac{（6n-1+1）^{n+1}}{（3n-2+2）^{n}}$=6n×2ⁿ=3n×2ⁿ⁺¹，
∴{c_n}的前n項和T_n=3（2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹）．
2T_n=3[2³+2×2⁴…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²]，
∴-T_n=3[2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²]=$3×（\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}-n×{2}^{n+2}）$，
∴T_n=（6n-6）×2ⁿ⁺¹+12．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的定義通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．