Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁，F₂，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，點M是橢圓上一點，三角形MF₁F₂的面積的最大值為$\sqrt{2}$
（1）求橢圓的標準方程
（2）設不經過焦點F₁的直線λ：y=kx+m與橢圓交于兩個不同的點A、B，焦點F₂到直線l的距離為d，如果直線AF₁，l，BF₁的斜率依次成等差數列，求d的取值范圍？

Answer 1

分析 （1）由題意可知：當M位于上頂點或下頂點時三角形MF₁F₂的面積最大，即S=$\frac{1}{2}$•2c•b=$\sqrt{2}$，即bc=$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則a=$\sqrt{3}$c，由a²=b²+c²，即可求得a，b和c的值，即可求得橢圓的標準方程；
（2）設直線l的方程y=kx+m，代入橢圓方程，由△＞0，求得2k²+1＞m²，利用直線AF₁、l、BF₁的斜率依次成等差數列及y₁=kx₁+m、y₂=kx₂+m、計算可知x₁+x₂+2=0，由韋達定理可知$m=\frac{2}{3k}+k$，進而可知k²＞$\frac{1}{3}$，通過點到直線的距離公式可得d=$\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{|{2k+\frac{2}{3k}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{2+\frac{2}{{3{k^2}}}}}{{\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}$，t=$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$（1＜t＜2），設d=f（t）=$\frac{{\frac{2}{3}{t^2}+\frac{4}{3}}}{t}=\frac{2}{3}（{t+\frac{2}{t}}）$由基本不等式的性質及函數的單調性即可求得d的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，
當M位于上頂點或下頂點時三角形MF₁F₂的面積最大，即S=$\frac{1}{2}$•2c•b=$\sqrt{2}$，即bc=$\sqrt{2}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即a=$\sqrt{3}$c，
由橢圓的性質可知：a²=b²+c²，解得：a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；（4分）
（2）設A（x₁．y₁），B（x₂•y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}2{x^2}+3{y^2}-6=0\\ y=kx+m\end{array}\right.⇒（2+3{k^2}）{x^2}+6kmx+3{m^2}-6=0$，
由△＞0，即（6km）²-4（3m²-6）（2+3k²）＞0，
整理得：m²＜3k²+2，①
由韋達定理定理可知：$\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{2+3{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-6}}{{2+3{k^2}}}\end{array}$，（6分）
由直線AF₁，l，BF₁的斜率依次成等差數列，
∴${k}_{A{F}_{1}}$+${k}_{A{F}_{2}}$=2k，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=2k，
即$\frac{{k{x_1}+m}}{{{x_1}+1}}+\frac{{k{x_2}+m}}{{{x_2}+1}}=2k$
化簡得（m-k）（x₁+x₂+2）=0，
∵m≠k，
∴x₁+x₂=-2（8分）
即$\frac{-6km}{{2+3{k^2}}}=-2$，解得：$m=\frac{2}{3k}+k$②
由①②可得k²＞$\frac{1}{3}$（10分）
又d=$\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{|{2k+\frac{2}{3k}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{2+\frac{2}{{3{k^2}}}}}{{\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}$，
令t=$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$（1＜t＜2），
設d=f（t）=$\frac{{\frac{2}{3}{t^2}+\frac{4}{3}}}{t}=\frac{2}{3}（{t+\frac{2}{t}}）$≥$\frac{2}{3}$•2$\sqrt{t•\frac{2}{t}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，（1＜t＜2），
當且僅當t=$\frac{2}{t}$時，即t=$\sqrt{2}$時，取最小值，
函數的單調性可知：當t=1或t=2時，取最大值，最大值為f（2）=f（1）=2，
∴$\frac{4\sqrt{2}}{3}$≤f（t）＜2，
∴d的取值范圍[$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，2）．（12分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的性質和離心率公式，考查直線與橢圓的位置關系、等差數列的中項的性質，函數的單調性及基本不等式的性質，考查運算求解能力，綜合性較強，注意解題方法的積累，屬于難題．