Question

18．已知F是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦點，若P是C的左支上一點，A（0，6$\sqrt{6}$）是y軸上一點，則△APF周長的最小值為34．

Answer 1

分析 設雙曲線的左焦點為F'，求出雙曲線的a，b，c，運用雙曲線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，考慮P在左支上運動到與A，F'共線時，取得最小值，即可得到所求值．

解答 解：設雙曲線的左焦點為F'，
由雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得a=2，b=2$\sqrt{5}$，c=3，
即有F（3，0），F'（-3，0），|AF|=|AF'|=$\sqrt{9+216}$=15，
△APF周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+15，
由雙曲線的定義可得|PF|-|PF'|=2a=4，
即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+4，
當P在左支上運動到A，P，F'共線時，
|PA|+|PF'|取得最小值|AF'|=15，
則有△APF周長的最小值為15+15+4=34．
故答案為：34

點評 本題考查三角形的周長的最小值，注意運用雙曲線的定義和三點共線時取得最小值，考查運算能力，屬于中檔題．