Question

5．某汽車美容公司為吸引顧客，推出優惠活動：對首次消費的顧客，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應優惠，標準如下：

消費次數	第1次	第2次	第3次	第4次	≥5次
收費比例	1	0.95	0.90	0.85	0.80

該公司從注冊的會員中，隨機抽取了100位統計他們的消費次數，得到數據如下：

消費次數	1次	2次	3次	4次	5次
頻數	60	20	10	5	5

假設汽車美容一次，公司成本為150元．根據所給數據，解答下列問題：
（Ⅰ）估計該公司一位會員至少消費兩次的概率；
（Ⅱ）某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤；
（Ⅲ）假設每個會員最多消費5次，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，設該公司為一位會員服務的平均利潤為X元，求X的分布列和數學期望E（X）．

Answer 1

分析 （I）根據頻數計算頻率，得出概率；
（II）根據優惠標準計算平均利潤；
（III）求出各種情況對應的X的值和概率，得出分布列，從而計算出數學期望．

解答 解：（I）隨機抽取的100位會員中，至少消費兩次的會員有20+10+5+5=40，
∴該公司一位會員至少消費兩次的概率為P=$\frac{40}{100}$=$\frac{2}{5}$．
（II）第一次消費時，公司獲取利潤為200-150=50元，
第二次消費時，公司獲取利潤為200×0.95-150=40元，
∴求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤為$\frac{50+40}{2}$=45元．
（III）若會員消費1次，平均利潤為50元，
若會員消費2次，平均利潤為45元，
若會員消費3次，平均利潤為為40元，
若會員消費4次，平均利潤為35元，
若會員消費5次，平均利潤為30元，
∴X的可能取值為50，45，40，35，30，
∴P（X=50）=$\frac{3}{5}$，P（X=45）=$\frac{1}{5}$，P（X=40）=$\frac{1}{10}$，
P（X=35）=$\frac{1}{20}$，P（X=30）=$\frac{1}{20}$．
∴X的分布列為：

X	50	45	40	35	30
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{20}$

∴E（X）=50×$\frac{3}{5}$+45×$\frac{1}{5}$+40×$\frac{1}{10}$+35×$\frac{1}{20}$+30×$\frac{1}{20}$=46.25．

點評 本題考查了隨機變量的分布列，數學期望計算，屬于中檔題．