Question

17．在平面直角坐標系xOy中，已知$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，b），b∈R．若$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，點M滿足$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OC}$，（λ∈R），且|$\overrightarrow{OC}$|•|$\overrightarrow{OM}$|=36，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$的最大值為18．

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{OC}、\overrightarrow{OM}$的坐標，結(jié)合|$\overrightarrow{OC}$|•|$\overrightarrow{OM}$|=36可得λ與b的關(guān)系，把$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$化為關(guān)于b的函數(shù)得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，b），
∴$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（2，b），則$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OC}$=（2λ，bλ），
由|$\overrightarrow{OC}$|•|$\overrightarrow{OM}$|=36，得$\sqrt{4+{b}^{2}}•\sqrt{4{λ}^{2}+{b}^{2}{λ}^{2}}=36$．
∴|λ|（4+b²）=36．
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$=（2λ，bλ）•（1，0）=2λ≤2|λ|=$\frac{72}{4+{b}^{2}}$．
∵b∈R，∴$（\frac{72}{4+{b}^{2}}）_{max}=18$．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$的最大值為18．
故答案為：18．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查函數(shù)值域的求法，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．