Question

5．若實數x，y，m，n滿足x²+y²=a，m²+n²=b，則mx+ny的最大值為（　　）

• A． $\frac{a+b}{2}$
• B． $\sqrt{ab}$
• C． $\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$
• D． $\frac{ab}{a+b}$

Answer 1

分析 利用三角換元，將其代入mx+ny中，由三角函數公式分析可得答案．

解答 解：由x²+y²=a，a≥0．
∴令$\sqrt{a}$sinα=x，$\sqrt{a}$cosα=y，（0≤α＜2π）滿足題意．
由m²+n²=b，b≥0．
∴令$\sqrt{b}$sinβ=m，$\sqrt{b}$cosβ=n，（0≤β＜2π）滿足題意．
則mx+ny=$\sqrt{ab}$sinαsinβ+$\sqrt{ab}$cosαcosβ=$\sqrt{ab}$cos（α-β）．
∵cos（α-β）的最大值為1．
∴mx+ny的最大值為$\sqrt{ab}$
故選：B．

點評 本題主要考查求最值問題，考查三角換元，屬于基礎題．