Question

15．數列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=l，a_n+1=2S_n+1 （n≥1）
（I）求{ a_n }的通項公式；
（Ⅱ）等差數列{b_n}的各項為正，其前n項和為T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，求數列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項和A_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數列遞推式可得數列{ a_n }是以1為首項，以3為公比的等比數列，代入等比數列的通項公式得答案；
（Ⅱ）設出等差數列的公差，由已知列式求得首項和公差，的其前n項和為T_n，然后利用裂項相消法求數列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項和A_n．

解答 解：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1 （n≥1），得a_n=2S_n-1+1 （n≥2），
兩式作差可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₁=l，a_n+1=2S_n+1，得a₂=2a₁+1=3，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3$（n≥1）．
∴數列{ a_n }是以1為首項，以3為公比的等比數列，
則${a}_{n}={3}^{n-1}$；
（Ⅱ）設等差數列{b_n}的公差為d（d＞0），
由T₃=15，a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，得
$\left\{\begin{array}{l}{3{b}_{1}+3d=15}\\{（3+{b}_{1}+d）^{2}=（1+{b}_{1}）（9+{b}_{1}+2d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴$Tn=3n+\frac{n（n-1）}{2}×2=n（n+2）$．
則$\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴${A}_{n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}[\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}]$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，是中檔題．