Question

17．已知函數$f（x）=\frac{x+a}{{{x^2}+3{a^2}}}（a≠0，a∈R）$．
（1）設函數$g（x）=\frac{{{x^2}+12}}{x+2}{e^x}$，當a=-2時，討論y=f（x）g（x）的單調性，并證明當x＞0時，（x-2）e^x+x+2＞0
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）當a=1時，若對任意x₁，x₂∈[-3，+∞），有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，求實數m的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出y=f（x）g（x）的解析式，求出函數的導數，求出函數的單調區間，從而證明結論即可；
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（3）求出函數的單調性，得到函數的最大值和最小值，求出m的最小值即可．

解答 解：（1）a=-2時，y=$\frac{x-2}{x+2}$e^x，y′=$\frac{{{x}^{2}e}^{x}}{{（x+2）}^{2}}$，
∵當f'（x）＞0時，x＜-2或x＞-2，
∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上單調遞增，
證明：∴x＞0時，$\frac{x-2}{x+2}$e^x＞f（0）=-1，
∴（x-2）e^x+x+2＞0．
（2）f′（x）=$\frac{-（x-a）（x+3a）}{{{（x}^{2}+{3a}^{2}）}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=a或x=-3a．
當a＞0時，f′（x），f（x）隨著x的變化如下表：

x	（-∞，-3a）	-3a	（-3a，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	Φ	極小值	Γ	極大值	Φ

函數f（x）的單調遞增區間是（-3a，a），函數f（x）的單調遞減區間是（-∞，-3a），（a，+∞）．
當a＜0時，f′（x），f（x）隨著x的變化如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，-3a）	-3a	（-3a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	Φ	極小值	Γ	極大值	Φ

函數f（x）的單調遞增區間是（a，-3a），函數f（x）的單調遞減區間是（-∞，a），（-3a，+∞）．
（3）當a=1時，由（1）得f（x）是（-3，1）上的增函數，是（1，+∞）上的減函數．
又當x＞1時，f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+3}$＞0，
所以f（x）在[-3，+∞）上的最小值為f（-3）=-$\frac{1}{6}$，最大值為f（1）=$\frac{1}{2}$，
所以對任意x₁，x₂∈[-3，+∞），f（x₁）-f（x₂）≤f（1）-f（-3）=$\frac{2}{3}$．
所以對任意x₁，x₂∈[-3，+∞），使f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立的實數m的最小值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了導數在函數單調性上的應用，考查復合函數的求導法則以及導數代表的意義，考查計算能力，屬于中檔題．