Question

5．求s=$\sqrt{{x}^{4}-5{x}^{2}-8x+25}$-$\sqrt{{x}^{4}-3{x}^{2}+4}$的最大值．

Answer 1

分析 在函數y=x²的圖象上求點N（x，x²），使得s=$\sqrt{{x}^{4}-5{x}^{2}-8x+25}$-$\sqrt{{x}^{4}-3{x}^{2}+4}$有最大值，y=$\sqrt{（{x}^{2}-3）^{2}+（x-4）^{2}}$+$\sqrt{（{x}^{2}-2）^{2}+{x}^{2}}$表示點（x，x²），分別到P（4，3），Q（0，2）距離差．

解答 解：在函數y=x²的圖象上求點N（x，x²），使得s=$\sqrt{{x}^{4}-5{x}^{2}-8x+25}$-$\sqrt{{x}^{4}-3{x}^{2}+4}$有最大值，
y=$\sqrt{（{x}^{2}-3）^{2}+（x-4）^{2}}$+$\sqrt{（{x}^{2}-2）^{2}+{x}^{2}}$表示點N（x，x²），分別到P（4，3），Q（0，2）的距離差，
則PQ的延長線與y=x²的交點N為所求，|PQ|=|PN-QN|．
下面證明：y_max=|PQ|，
在y=x²上找一點不同于N點的M點．在△MPQ中，PQ≥|QM-PM|．
∴y_max=|PQ|=$\sqrt{（4-0）^{2}+（3-2）^{2}}$=$\sqrt{17}$，
因此最大值為$\sqrt{17}$．

點評 本題考查了函數的性質、兩點之間的距離公式、三角形三邊大小關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．