Question

14．設函數f（x）=（x-1）³，x∈R，其中a，b∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）存在極值點x₀，且f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀，求證：x₁+2x₀=3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）=（x-1）³-ax-b，可得f′（x）=3（x-1）²-a．分兩種情況討論：（1）當a≤0，（2）當a＞0，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＞0，且x₀≠1，由題意，得f′（x₀）=3（x₀-1）²-a=0，即（x₀-1）²=$\frac{a}{3}$，進而f（x₀）=（x₀-1）³-ax₀-b=-$\frac{2}{3}a{x}_{0}-\frac{a}{3}-b$．
又f（3-2x₀）=（2-2x₀）³-a（2-2x₀）-b=f（x₀），且3-2x₀≠x₀，由題意及（Ⅰ）知，存在唯一實數滿足f（x₁）=f（x₀），可得x₁=3-2x₀即可，

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=（x-1）³-ax-b，可得f′（x）=3（x-1）²-a．…..（1分）
下面分兩種情況討論：（1）當a≤0時，有f′（x）=3（x-1）²-a≥0恒成立，所以f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞）．…..（3分）
（2）當a＞0時，令f′（x）=0，解得x=1+$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，或x=1-$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．…．（5分）
當x∈（-$∞，1-\frac{\sqrt{3}a}{3}$），（1+$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，+∞）時，f′（x）＞0，x$∈（1-\frac{\sqrt{3}a}{3}$，1+$\frac{\sqrt{3}a}{3}$），f′（x）＜0
∴f（x）的單調遞增區間為（-$∞，1-\frac{\sqrt{3}a}{3}$），（1+$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，+∞），f（x）的單調遞減區間為（1-$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，1+$\frac{\sqrt{3}a}{3}$），
（Ⅱ）證明：因為f（x）存在極值點，所以由（Ⅰ）知a＞0，且x₀≠1，由題意，得f′（x₀）=3（x₀-1）²-a=0，
即（x₀-1）²=$\frac{a}{3}$，進而f（x₀）=（x₀-1）³-ax₀-b=-$\frac{2}{3}a{x}_{0}-\frac{a}{3}-b$．…..（10分）
又f（3-2x₀）=（2-2x₀）³-a（2-2x₀）-b=f（x₀），且3-2x₀≠x₀，由題意及（Ⅰ）知，存在唯一實數滿足f（x₁）=f（x₀），且x₁≠x₀，因此x₁=3-2x₀，
所以x₁+2x₀=3…..（12分）

點評 本題考查了導數的綜合應用，考查了利用導數求單調性、函數極值，屬于中檔題．