Question

6．平面內一動點M，到兩定點F₁（-3，0），F₂（3，0）的距離之和等于10．
（1）求動點M的軌跡方程；    
（2）判斷點$N（3，\frac{16}{5}）$是否在曲線上．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，設橢圓方程，根據橢圓的定義，可知a和c，則b²=a²-c²，即可求得動點M的軌跡方程；
（2）將N點代入橢圓方程，驗證是否滿足．

解答 解：（1）由橢圓的定義可知：橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由2a=10，a=5，c=3，
b²=a²-c²=16，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）由$\frac{9}{25}+\frac{1{6}^{2}}{25×16}=1$，故點$N（3，\frac{16}{5}）$在曲線上．

點評 本題考查橢圓的定義及方程的應用，考查計算能力，屬于中檔題．