Question

11．（Ⅰ）拋物線的頂點在原點，坐標軸為對稱軸，并經過點P（-3，-6），求此拋物線的方程．
（Ⅱ）已知圓：x²+y²=c²（c＞0），把圓上的各點縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的$\sqrt{2}$倍得一橢圓．求橢圓方程，并證明橢圓離心率是與c無關的常數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，設拋物線的方程，代入橢圓方程，即可求得p的值，即可求得拋物線的方程；
（Ⅱ）將P經過坐標變換，求得對應點的坐標，代入圓的方程，即可求得橢圓方程，求得橢圓的離心率與c無關的常數．

解答 解：（Ⅰ）依題意，若焦點在x軸，設拋物線的方程為y²=2px（p≠0），
將P（-3，-6）代入，（-6）²=2p（-3），得2p=-12，此時方程為：y²=-12x，
若焦點在y軸，設拋物線的方程為x²=2py（p≠0），
將P（-3，-6）代入，（-3）²=2p（-6），得$2p=-\frac{3}{2}$，此時方程為：${x^2}=-\frac{3}{2}y$，
∴拋物線的方程為y²=-12x或${x^2}=-\frac{3}{2}y$；
（Ⅱ）設P₀（x₀，y₀）是圓：x²+y²=c²上任一點，則P（x，y）為所求橢圓上經過變換后的對應點，
則有$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}{x_0}\\ y={y_0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{x}{{\sqrt{2}}}\\{y_0}=y\end{array}\right.$代入圓的方程得：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}={c}^{2}$，
故所求的橢圓方程為：$\frac{x^2}{{2{c^2}}}+\frac{y^2}{c^2}=1$．
又橢圓的長半軸的長為$\sqrt{2}c$，半焦距為c，故離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$與c無關．

點評 本題考查拋物線的標準方程，橢圓的性質，考查分類討論思想，屬于基礎題．