Question

4．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是單位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{2}$，則$（{\overrightarrow c-\overrightarrow a}）•（{\overrightarrow c-\overrightarrow b}）$的最小值是$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設設$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），利用三角恒等變換得出$（{\overrightarrow c-\overrightarrow a}）•（{\overrightarrow c-\overrightarrow b}）$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夾角為60°，
不妨設$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），
則$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$=（cosθ-1，sinθ），$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$=（cosθ-$\frac{1}{2}$，sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$（{\overrightarrow c-\overrightarrow a}）•（{\overrightarrow c-\overrightarrow b}）$=（cosθ-1）（cosθ-$\frac{1}{2}$）+sinθ（sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=cos²θ+sin²θ-$\frac{3}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$sin（θ+φ），
∴當sin（θ+φ）=1時，$（{\overrightarrow c-\overrightarrow a}）•（{\overrightarrow c-\overrightarrow b}）$取得最小值$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于中檔題．