Question

12．已知定義在R上的函數f（x）=ln（e^2x+1）+ax（a∈R）是偶函數．
（1）求實數a的值；并判斷f（x）在[0，+∞）上的單調性；（不必證明）
（2）若f（x²+$\frac{1}{x^2}$）＞f（mx+$\frac{m}{x}$）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用偶函數，可得f（1）=f（-1），求解a，然后判斷函數的奇偶性以及函數的單調性．
（2）f（x）在[0，+∞）上是單調增函數，且是偶函數，又$f（{x^2}+\frac{1}{x^2}）＞f（mx+\frac{m}{x}）$，轉化為不等式構造函數求解最值然后推出m范圍．

解答 解：（1）因為f（x）是定義在R上的偶函數，所以f（1）=f（-1），
即ln（e²+1）+a=ln（e^-2+1）-a，即$2a=ln（\frac{{{e^{-2}}+1}}{{{e^2}+1}}）=-2$，得a=-1，…4分
當a=-1時，f（x）=ln（e^2x+1）-x，
對于?x∈R，f（-x）=ln（e^-2x+1）+x=ln（e^2x+1）-x=f（x），綜上a=-1…6分
f（x）在[0，+∞）上是單調增函數，…8分
（2）f（x）在[0，+∞）上是單調增函數，且是偶函數，又$f（{x^2}+\frac{1}{x^2}）＞f（mx+\frac{m}{x}）$，
所以${x^2}+\frac{1}{x^2}＞|{mx+\frac{m}{x}}|$，…9分
令$t=x+\frac{1}{x}$，則t∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
所以|mt|＜t²-2，$|m|＜|t|-\frac{2}{|t|}$恒成立，…12分
因為$|t|-\frac{2}{|t|}$，關于|t|在[2，+∞）上單調遞增，
所以$|t|-\frac{2}{|t|}≥1$，所以|m|＜1恒成立，所以-1＜m＜1．…16分．

點評 本題考查函數恒成立，函數的單調性以及函數的奇偶性的應用，構造法的應用，考查函數思想以及計算能力．