Question

1．已知函數f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$）．
（1）若sinθ=-$\frac{4}{5}$，θ∈（$\frac{3π}{2}$，2π），求f（θ+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{6}$]，求函數f（x）的單調減區間．

Answer 1

分析 （I）利用三角恒等變換化簡函數f（θ+$\frac{π}{6}$），根據同角的三角函數關系，求值即可；
（II）由正弦函數的圖象與性質，求出f（x）在$x∈[\frac{π}{4}，\frac{7π}{6}]$上的單調減區間．

解答 解：（I）函數f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$），
∴f（θ+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$cos[2（θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{12}$]
=$\sqrt{2}$cos（2θ+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$（cos2θcos$\frac{π}{4}$-sin2θsin$\frac{π}{4}$）
=cos2θ-sin2θ；…（2分）
又$sinθ=-\frac{4}{5}，θ∈（\frac{3π}{2}，2π）$，
∴$cosθ=\frac{3}{5}$，
∴$cos2θ={cos^2}θ-{sin^2}θ=-\frac{7}{25}$，
∴$sin2θ=2sinθcosθ=-\frac{24}{25}$；…（5分）
∴$f（θ+\frac{π}{6}）=\sqrt{2}cos（2θ+\frac{π}{4}）=cos2θ-sin2θ=\frac{17}{25}$；…（6分）
（II）由$2kπ≤2x-\frac{π}{12}≤π+2kπ$，（k∈Z）
得：$kπ+\frac{π}{24}≤x≤kπ+\frac{13π}{24}$，（k∈Z）；…（9分）
又∵$x∈[\frac{π}{4}，\frac{7π}{6}]$，
所以函數f（x）的單調減區間為：
$[\frac{π}{4}，\frac{13π}{24}]，[\frac{25π}{24}，\frac{7π}{6}]$…（12分）．

點評 本題考查了三角函數求值以及三角函數的圖象與性質的應用問題，是中檔題．