Question

7．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f（x）=x²+4x
（1）求函數f（x），x∈R的解析式；
（2）若函數g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，4]，記函數g（x）的最大值為h（a），求函數h（a）的解析式，并寫出函數h（a）的值域．

Answer 1

分析 （1）先設x＞0，則-x＜0，然后，根據x≤0時，f（x）=x²+4x的解析式可求出x＞0的解析式．
（2）化簡函數的解析式，利用二次函數的性質求出最大值，求解函數h（a）的解析式，然后求解函數的值域即可．

解答 解：（1）設x＞0，則-x＜0．又因為當x≤0時，f（x）=x²+4x，
所以f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x，又因為f（-x）=f（x）．
所以x＞0時，f（x）=x²-4x．
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{{x}^{2}-4x，x＞0}\end{array}\right.$．
（2）函數g（x）=x²-4x-2ax+2=（x-a-2）²-（a+2）²+2，1≤x≤4，二次函數的對稱軸為：x=a+2，
∴當a+2≤$\frac{5}{2}$，即a$≤\frac{1}{2}$時，g（a）=g（4）=-8a+2；
當a$＞\frac{1}{2}$時，g（a）=g（1）=-2a-1；
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-8a+2，a≤\frac{1}{2}}\\{-2a-1，a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴當a≤$\frac{1}{2}$時，g（a）=-8a+2，∴g（a）≥-2；
當a＞$\frac{1}{2}$時，g（a）=-2a-1，∴g（a）＞-2；
綜上所得：g（a）≥-2，
故g（a）的值域為：[-2，+∞）．

點評 本題利用函數的奇偶性求函數在對稱區間上的解析式．利用轉化與化歸的思想方法．考查了分類討論的數學思想，是一道綜合題．