Question

15．（1）若函數f（x）=x³+bx²+cx+d的單調遞減區間（-1，2）求b，c的值；
（2）設$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+2ax$，若f（x）在$（\frac{2}{3}，+∞）$上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；
（3）已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R），若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意t∈[1，2]，函數g（x）=x³+x²[f′（x）+$\frac{m}{2}$]在區間（t，3）上總不是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，問題轉化為3x²+2bx+c=0的兩根分別為-1，2，根據根與系數的關系求出a，b的值即可；
（2）函數f（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上存在單調遞增區間，即f′（x）＞0在（$\frac{2}{3}$，+∞）上有解，只需f′（$\frac{2}{3}$）＞0即可，根據一元二次函數的性質即可得到結論；
（3）求出函數g（x）的導數，問題轉化為m+4＜$\frac{2}{t}$-3t，根據函數的單調性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f'（x）=3x²+2bx+c，
因為f（x）=x³+bx²+cx+d的單調遞減區間（-1，2），
所以方程f'（x）=3x²+2bx+c=0的兩根分別為-1，2，
即1=-$\frac{2b}{3}$，-2=$\frac{c}{3}$，
所以$b=-\frac{3}{2}，c=-6$；
（2）∵f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax，
∴函數的導數為f′（x）=-x²+x+2a，
若函數f（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上存在單調遞增區間，
即f′（x）＞0在（$\frac{2}{3}$，+∞）上有解
∵f′（x）=-x²+x+2a，
∴只需f′（$\frac{2}{3}$）＞0即可，
由f′（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{9}$+$\frac{2}{3}$+2a=2a+$\frac{2}{9}$＞0，解得a＞-$\frac{1}{9}$，
當a=-$\frac{1}{9}$時，f′（x）=-x²+x-$\frac{2}{9}$=-$\frac{1}{9}$（3x-2）（3x-1），
則當x＞$\frac{2}{3}$時，f′（x）＜0恒成立，
即此時函數f（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上為減函數，不滿足條件．
（3）由f′（2）=-$\frac{a}{2}$=1，a=-2，
∴f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）=x³+（$\frac{m}{2}$+2）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2，
令g′（x）=0得，△=（m+4）²+24＞0，
故g′（x）=0兩個根一正一負，即有且只有一個正根，
∵函數g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數，
∴g′（x）=0在（t，3）上有且只有實數根，
∵g′（0）=-2＜0，∴g′（t）＜0，g′（3）＞0，
∴m＞-$\frac{37}{3}$，（m+4）t＜2-3t²，故m+4＜$\frac{2}{t}$-3t，
而y=$\frac{2}{t}$-3t在t∈[1，2]單調減，
∴m＜-9，
綜合得-$\frac{37}{3}$＜m＜-9．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．