Question

5．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E在棱CC₁的延長線上，且CC₁=C₁E=BC=$\frac{1}{2}$AB=1．
（1）求D₁E的中點F到平面ACB₁的距離；
（2）求證：平面D₁B₁E⊥平面DCB₁．

Answer 1

分析 （1）連接AD₁、BC₁，可得四邊形AB₁ED₁是平行四邊形，即D₁E∥平面ACB₁，可得點F到平面ACB₁的距離等于點E到平面ACB₁的距離，由${V_{E-AC{B_1}}}={V_{A-{B_1}CE}}$，得D₁E的中點F到平面ACB₁的距離．
（2）由已知得，${B_1}{C^2}+{B_1}{E^2}=4=C{E^2}$，則B₁E⊥B₁C，CD⊥B₁E，即B₁E⊥平面DCB₁，又B₁E?平面D₁B₁E，即可得平面D₁B₁E⊥平面DCB₁．

解答 證明：（1）連接AD₁、BC₁，∵$A{D_1}\underline{\underline{∥}}B{C_1}\underline{\underline{∥}}{B_1}E$，
∴四邊形AB₁ED₁是平行四邊形，
∴D₁E∥AB₁，又AB₁?平面AB₁C，D₁E?平面AB₁C，
∴D₁E∥平面ACB₁，
∴點F到平面ACB₁的距離等于點E到平面ACB₁的距離，由${V_{E-AC{B_1}}}={V_{A-{B_1}CE}}$，
得$\frac{1}{3}{S_{△AC{B_1}}}•h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2$，又易知${S_{△AC{B_1}}}=\frac{3}{2}$．
∴D₁E的中點F到平面ACB₁的距離為$h=\frac{4}{3}$．
（2）由已知得，${B_1}{C^2}+{B_1}{E^2}=4=C{E^2}$，則B₁E⊥B₁C，
由長方體的特征可知CD⊥平面B₁BCE，
而B₁E?平面B₁BCE，所以CD⊥B₁E，
∴B₁E⊥平面DCB₁，又B₁E?平面D₁B₁E，
∴平面D₁B₁E⊥平面DCB₁．

點評 本題考查了空間線面、面面位置關系，點面距離，屬于中檔題．