Question

7．已知實數a、b滿足a²+b²-ab=3．
（1）求a-b的取值范圍；
（2）若ab＞0，求證：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{3}{4}$≥$\frac{4}{ab}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得a²+b²=3+ab≥2|ab|．
①當ab≥0時，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；
②當ab＜0時，3+ab≥-2ab，解得 ab≥-1，即-1≤ab＜0，
得0≤3-ab≤4，即0≤（a-b）²≤4，即-2≤a-b≤2；
（2）由（1）知0＜ab≤3，可得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{3}{4}-\frac{4}{ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}-\frac{4}{ab}+\frac{3}{4}$
=$\frac{3+ab}{{{a^2}{b^2}}}-\frac{4}{ab}+\frac{3}{4}=\frac{3}{{{a^2}{b^2}}}-\frac{3}{ab}+\frac{3}{4}=3（{\frac{1}{{{a^2}{b^2}}}-\frac{1}{ab}+\frac{1}{4}}）=3{（{\frac{1}{ab}-\frac{1}{2}}）^2}≥0$
 即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{3}{4}≥\frac{4}{ab}$．

解答 解：（1）因為a²+b²-ab=3，所以a²+b²=3+ab≥2|ab|．
①當ab≥0時，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；
②當ab＜0時，3+ab≥-2ab，解得 ab≥-1，即-1≤ab＜0，
所以-1≤ab≤3，則0≤3-ab≤4，
而（a-b）²=a²+b²-2ab=3+ab-2ab=3-ab，
所以0≤（a-b）²≤4，即-2≤a-b≤2；
（2）由（1）知0＜ab≤3，
因為$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{3}{4}-\frac{4}{ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}-\frac{4}{ab}+\frac{3}{4}$
=$\frac{3+ab}{{{a^2}{b^2}}}-\frac{4}{ab}+\frac{3}{4}=\frac{3}{{{a^2}{b^2}}}-\frac{3}{ab}+\frac{3}{4}=3（{\frac{1}{{{a^2}{b^2}}}-\frac{1}{ab}+\frac{1}{4}}）=3{（{\frac{1}{ab}-\frac{1}{2}}）^2}≥0$
當且僅當ab=2時取等號，
所以$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{3}{4}≥\frac{4}{ab}$．

點評 本題考查了不等式的性質，不等式的證明，屬于中檔題．