Question

12．△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，則$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}$=-$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 將已知等式移項，兩邊平方，得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，再將向量OC用向量OA，OB表示，代入所求式子，化簡即可得到．

解答 解：∵$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，
∴移項得3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$=-5$\overrightarrow{OC}$．
兩邊平方得，9${\overrightarrow{OA}}^{2}$+24$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+16${\overrightarrow{OB}}^{2}$=25${\overrightarrow{OC}}^{2}$
∵O為△ABC的外接圓的圓心，
∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，
上式化簡為24$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+=0，
∵$\overrightarrow{OC}$=-$\frac{1}{5}$（3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}$=-$\frac{1}{5}$（3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=-$\frac{1}{5}$（4${\overrightarrow{OB}}^{2}$-3${\overrightarrow{OA}}^{2}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$）=-$\frac{1}{5}$，
故答案為：-$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查向量的加減和數量積運算，考查向量的數量積的性質和平方法解題，屬于中檔題．