Question

設等比數列{a_n}的首項a₁=256，前n項和為S_n，且S_n，S_n+2，S_n+1成等差數列．
（1）求{a_n}的公比q；
（2）用π_n表示{a_n}的前n項之積，即π_n=a₁•a₂…a_n，求π_n的最大值與最小值．

Answer 1

考點：等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）解法一：根據等差中項的性質得2S_n+2=S_n+S_n+1，把S_n+1=S_n+a_n+1，S_n+2=S_n+1+a_n+2=S_n+a_n+1+a_n+2代入化簡，即可求出公比q的值；
解法二：根據等比數列的前n項和公式，對q分類后分別代入2S_n+2=S_n+S_n+1，化簡求出q的值；
（2）由（1）和等比數列的通項公式求出a_n，代入π_n利用指數的運算性質化簡后，判斷并求出π_n的最大值與最小值．

解答： 解：（1）解法一：因為S_n，S_n+2，S_n+1成等差數列，
所以2S_n+2=S_n+S_n+1，
把S_n+1=S_n+a_n+1，S_n+2=S_n+1+a_n+2=S_n+a_n+1+a_n+2代入得，
2（S_n+a_n+1+a_n+2）=S_n+（S_n+a_n+1），
化簡得，a_n+2=-

1

2

a_n+1，
所以等比數列{a_n}的公比q=-

1

2

；…（6分）
解法二：由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，
當q=1時，S_n+2=（n+2）a₁，S_n+1=（n+1）a₁，S_n=na₁，
則2（n+2）a₁=（n+1）a₁+na₁，
解得a₁=0與數列{a_n}為等比數列矛盾；…（2分）
當q≠1時，則2•

a1(1-qn+2)

1-q

=

a1(1-qn)

1-q

+

a1(1-qn+1)

1-q

，
化簡得：2qⁿ⁺²=qⁿ+qⁿ⁺¹，
因為qⁿ≠0，所以2q²=1+q，解得q=-

1

2

…（6分）
（2）由（1）得，q=-

1

2

，且a₁=256=2⁸，則a_n=28•(-

1

2

)n-1=(-1)n-1(

1

2

)n-9，
所以π_n=a₁•a₂…a_n=（-1）^{-1+0+1+…（n-1）}•(

1

2

)(-8)+(-7)+…+(n-9)
=(-1)

n(n-2)

2

•(

1

2

)

n(n-17)

2

=(-1)

n2-n

2

(

1

2

)

n2-17n

2

，
則Π₈=Π₉＞0、Π₇=Π₁₀＜0，
所以Π_n的最大值是Π8=Π9=236，最小值是Π7=Π10=-235．…（12分）

點評：本題考查等比數列的通項公式、前n項和公式，等差中項的性質，以及指數的運算性質，考查化簡計算能力，屬于中檔題．