Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f″（x）是函數f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”，某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．給定函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，請你根據上面探究結果，計算f(

1

2014

)+f(

2

2014

)…+f(

2012

2014

)+f(

2013

2014

)=

 

．

Answer 1

考點：導數的運算

專題：導數的綜合應用

分析：求出原函數的導函數，再求出導函數的導函數，由導函數的導函數等于0求出x的值，可得f（1-x）+f（x）=2，從而得到f(

1

2014

)+f(

2

2014

)…+f(

2012

2014

)+f(

2013

2014

)．

解答： 解：由f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，得f′（x）=x²-x+3，
∴f′′=2x-1，
由2x-1=0得x=

1

2

，
∴f(

1

2

)=1，
∴f（x）的對稱中心為(

1

2

，1)，
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f(

1

2014

)+f(

2013

2014

)=f(

2

2014

)+f(

2012

2014

)=…=2f(

1007

2014

)=2，
∴f(

1

2014

)+f(

2

2014

)…+f(

2012

2014

)+f(

2013

2014

)=2013
故答案為：2013．

點評：本題是新定義題，考查了函數導函數零點的求法；解答的關鍵是函數值滿足的規律，是中檔題．