Question

給定y軸上的一點A（0，a）（a＞1），對于曲線y=|

x2

2

-1|上的動點M（x，y）
（1）試求A，M兩點之間距離|AM|（用x表示）；
（2）求|AM|的最小值（用a表示）．

Answer 1

考點：兩點間的距離公式,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用兩點之間的距離公式得到關于x的解析式；
（2）結合（1）以及二次函數的最值求法解答．

解答： 解：（1）曲線y=|

x2

2

-1|=

x2 2 -1，x≥ 2 或x≤- 2 1- x2 2 ，- 2 ＜x＜ 2

，所以|AM|=

1 4 (x2-2a)2+2a+1 ，x≥ 2 或x≤- 2 1 4 (x2+2a)2-2a+1 ，- 2 ＜x＜ 2

；
（2）由（1）可知，a＞1，所以1＜a≤4，|AM|的最小值為a-1；
a＞4時，|AM|的最小值為

2a+1

．

點評：本題考查了兩點之間的距離公式以及二次函數最值的求法，屬于中檔題．