Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為菱形，直線平面，，，是上的一點，.

（1）證明：直線平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）設，連接，由平面，可得，證明和相似，可得，從而可知平面；

（2）由，可知為正方形，以為原點，，，所在方向分別為，，軸的正半軸建立空間直角坐標系，分別求得平面和的法向量，進而可求得二面角的余弦值.

（1）設，連接，∵平面，

∴，又，∴面，∴，

在直角中，，，故，∴，

則，∴和相似，故，

又，∴平面；

（2）由，可知為正方形，，

又平面，故以為原點，，，所在方向分別為，，軸的正半軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

∵，故，

顯然平面的一個法向量為，，，

設平面的一個法向量為，則，即，令，得，

設二面角的大小為，則，

故二面角的余弦值為.