Question

已知函數f（x）=sinωx（ω＞0）．
（Ⅰ）當ω=1時，函數y=f（x）經過怎樣的變換得到函數y=sin（2x+

π

6

），請寫出變化過程；
（Ⅱ）若y=f（x）圖象過（

2π

3

，0）點，且在區間（0，

π

3

）上是增函數，求ω的值．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）當ω=1時，函數f（x）=sinx，根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律可得結論．
（II）由f（x）的圖象過（

2π

3

，0）點，得sin

2π

3

ω=0，ω=

3

2

k，當k=1時，ω=

3

2

，檢驗滿足條件；當k≥2時，ω≥3，f（x）在（0，

π

3

）上不是增函數，從而求得ω的值．

解答： 解：（Ⅰ）當ω=1時，函數f（x）=sinx，把f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，可得f（x）=sin（x+

π

6

）的圖象，
再保持每點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的一半，可得函數y=sin（2x+

π

6

）的圖象．
（II）由f（x）的圖象過（

2π

3

，0）點，得sin

2π

3

ω=0，所以

2π

3

ω=kπ，k∈z．
即ω=

3

2

k，當k=1時，ω=

3

2

，f（x）=sin

3

2

x，其周期為

4π

3

，此時f（x）在（0，

π

3

）上是增函數．
當k≥2時，ω≥3，f（x）=sinωx的周期為

2π

ω

≤

2π

3

＜

4π

3

，
此時f（x）在（0，

π

3

）上不是增函數，故只有ω=

3

2

．

點評：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的周期性和單調性，屬于基礎題．