Question

已知函數f（x）=x+

9

x

（1）判斷函數的奇偶性；
（2）求證：函數f（x）在區間[3，+∞）上是單調增函數；
（3）利用函數f（x）的性質，求函數f（x）在[-6，-3]上的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可判斷函數的奇偶性；
（2）根據函數單調性的定義即可證明函數f（x）在區間[3，+∞）上是單調增函數；
（3）根據函數奇偶性和單調性的性質即可求函數f（x）在[-6，-3]上的值域．

解答： 解：（1）函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
則f（-x）=-x-

9

x

=-（x+

9

x

）=-f（x），
則函數為減函數；
（2）設3≤x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

9

x1

-x₂-

9

x2

=（x₁-x₂）•（

x1x2-9

x1x2

），
∵3≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞3，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函數f（x）在區間[3，+∞）上是單調增函數；
（3）∵函數f（x）是奇函數，且在區間[3，+∞）上是單調增函數，
∴函數f（x）在[-6，-3]上也為增函數，
∴f（-6）≤f（x）≤f（-3），
即-

15

2

≤f（x）≤-6，
故函數f（x）在[-6，-3]上的值域為[-

15

2

，-6]．

點評：本題主要考查函數奇偶性，單調性和值域的性質考查，綜合考查函數的性質，要求熟練掌握相應的定義法進行證明和判斷．