Question

已知x∈R，奇函數f（x）=x³+ax²+bx+c在[1，+∞）上單調，則a，b，c應滿足的條件是

 

．

Answer 1

考點：函數的單調性與導數的關系,函數奇偶性的性質,奇偶性與單調性的綜合

專題：導數的綜合應用

分析：根據函數的奇偶性確定a=c=0，然后利用函數單調性和導數之間的關系即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c是奇函數，
∴f（0）=c=0，
f（-x）=-f（x），
即-x³+ax²-bx=-x³-ax²-bx，
則a=-a，解得a=0，
則f（x）=x³+bx，
函數的導數f′（x）=2x²+b，
若b≥0，則f′（x）≥0恒成立，此時滿足在[1，+∞）上單調遞增，
若b＜0，
由f′（x）=2x²+b≥0，解得x≥

-b 2

或x≤-

-b 2

，
即在[

-b 2

，+∞）上單調遞增，
若f（x）=x³+ax²+bx+c在[1，+∞）上單調，
則滿足

-b 2

≤1，
解得-2≤b＜0，
綜上b≥-2，
故滿足的條件是a=c=0，b≥-2，
故答案為：a=c=0，b≥-2

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，根據奇函數的定義以及函數的導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．