Question

4．在平面直角坐標系xOy中，設鈍角α的終邊與圓O：x²+y²=4交于點P（x₁，y₁），點P沿圓順時針移動$\frac{2π}{3}$個單位弧長后到達點Q，點Q的坐標（x₂，y₂），則y₁+y₂的取值范圍（　　）

• A． $[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$
• B． $（\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$
• C． （1，2]
• D． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}]$

Answer 1

分析 根據三角函數的定義，即可求出函數y₁+y₂．

解答 解：由三角函數定義知，x₁=2cosα，y₁=2sinα，$\frac{π}{2}$＜α＜π，
x₂=2cos（α-$\frac{2π}{3}$），y₂=2sin（α-$\frac{2π}{3}$），
則y₁+y₂=2sinα+2sin（α-$\frac{2π}{3}$）=2sinα+2（sinαcos$\frac{2π}{3}$-cosαsin$\frac{2π}{3}$）
=2sinα-sinα-$\sqrt{3}$cosα
=sinα-$\sqrt{3}$cosα
=2（$\frac{1}{2}$sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα）
=2sin（α-$\frac{π}{3}$），
∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（α-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴1＜2sin（α-$\frac{π}{3}$）≤2，
即y₁+y₂的取值范圍是（1，2]，
故選C．

點評 本題主要考查三角函數的定義，兩角和與差的余弦公式，余弦函數的性質，考查學生的運算能力．