Question

19．以T=4為周期的函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{λ\sqrt{1-{x}^{2}}（x∈（-1，1]）}\\{3-3|x-2|（x∈（1，3]）}\end{array}\right.$（其中λ＞0），若方程f（x）=x恰有5個實數解，則λ的取值范圍是（　�。�

• A． （4，8）
• B． （4，3$\sqrt{7}$）
• C． （$\sqrt{15}$，3$\sqrt{7}$）
• D． （$\sqrt{15}$，8）

Answer 1

分析 根據對函數的解析式進行變形后發現當x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時，f（x）的圖象為半個橢圓．根據圖象推斷要使方程恰有5個實數解，則需直線y=x與第二個橢圓相交，而與第三個橢圓無公共點．把直線分別代入橢圓方程，根據△可求得λ的范圍

解答 解：∵當x∈（-1，1]時，將函數化為方程x²+$\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}$=1（y≥0），
∴實質上為一個半橢圓，
當x∈（1，3]時，f（x）=3-3|x-2|是一段折線，
其圖象如圖所示，

同時在坐標系中作出當x∈（1，3]得圖象，再根據周期性作出函數其它部分的圖象，
由圖易知直線y=x與第二個半橢圓（x-4）²+$\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}$=1（y≥0）相交，
但與第三個半橢圓（x-8）²+$\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}$=1無公共點時，方程恰有5個實數解，
將y=x代入（x-4）²+$\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}$=1 （y≥0）得，
（1+$\frac{1}{{λ}^{2}}$）x²-8x+15=0，由△=64-60 （1+$\frac{1}{{λ}^{2}}$）＞0，得λ²＞15，且λ＞0得λ＞$\sqrt{15}$，
將y=x代入（x-8）²+$\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}$=1（y≥0）得，
（1+$\frac{1}{{λ}^{2}}$）x²-16x+63=0，由△=256-252 （1+$\frac{1}{{λ}^{2}}$）＜0，得λ²＜63，且λ＞0得：0＜λ＜$3\sqrt{7}$，
綜上可知m∈（$\sqrt{15}$，3$\sqrt{7}$）
故選：C

點評 本題主要考查了函數的周期性．采用了數形結合的方法，很直觀．