Question

15．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為2，過右焦點和短軸一個端點的直線的傾斜角為$\frac{3π}{4}$，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設斜率為k的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，記△AOB面積的最大值為S_k，證明：S₁=S₂．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直線的斜率求出b，然后求解a，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明：設直線l的方程為y=kx+m，其中k=1或2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線與橢圓的方程組，通過判別式以及韋達定理，求解弦長，求出點到直線的距離，表示三角形的面積，然后證明：S₁=S₂．

解答 （本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：由題意，得橢圓C的半焦距c=1，右焦點F（1，0），上頂點M（0，b），
所以直線MF的斜率$k=\frac{b-0}{0-1}=tan\frac{3π}{4}=-1$，解得b=1，由a²=b²+c²，得a²=2，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）證明：設直線l的方程為y=kx+m，其中k=1或2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0…（5分）
所以△=16k²-8m²+8＞0（*），于是有${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，所以
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}）}^2}-4×\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}=\frac{{\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}\sqrt{8（2{k^2}-{m^2}+1）}$，…（6分）
因為原點O到直線y=kx+m的距離 $d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，…（8分）
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{{\sqrt{2}}}{{1+2{k^2}}}\sqrt{{m^2}（2{k^2}-{m^2}+1）}$…（9分）
S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，${S_{△AOB}}=\frac{{\sqrt{2}}}{9}\sqrt{{m^2}（9-{m^2}）}$，
當k=1時，${S_{△AOB}}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}\sqrt{{m^2}（3-{m^2}）}$，所以當${m^2}=\frac{3}{2}$時，S_△AOB的最大值${S_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，驗證知（*）成立；
m²=$\frac{9}{2}$，當k=2時，所以當時S_△AOB的最大值，
驗證知（*）成立；所以S₁=S₂…（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．