Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$．
（1）證明函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）若x∈[0，2]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）證法一：設x₁，x₂是區(qū)間（-1，+∞）上的兩個任意實數(shù)，且x₁＜x₂，作差判斷f（x₁），f（x₂）的大小，可得緒論
證法二：求導，根據(jù)x∈（-1，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，可得：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，進而可得函數(shù)的值域．

解答 （本題滿分14分）
（1）證法一：$f（x）=\frac{2x+1}{x+1}=\frac{2（x+1）-1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$．
設x₁，x₂是區(qū)間（-1，+∞）上的兩個任意實數(shù)，且x₁＜x₂，…（2分）
于是$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（2-\frac{1}{{{x_2}+1}}）-（2-\frac{1}{{{x_1}+1}}）$=$\frac{1}{{{x_1}+1}}-\frac{1}{{{x_2}+1}}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$．…（4分）
因為x₂＞x₁＞-1，所以x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，所以f（x₁）＜f（x₂），…（6分）
所以函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．…（7分）
證法二：∵f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$．
∴f′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$．
當x∈（-1，+∞）時，
f′（x）＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；…（7分）
（2）由（1）可知，函數(shù)在[0，2]上為單調(diào)增函數(shù)，…（9分）
于是，當x∈[0，2]時，f（x）_min=f（0）=1，…（11分）$f{（x）_{max}}=f（2）=\frac{5}{3}$．…（13分）
所以，當x∈[0，2]時，函數(shù)f（x）的值域為$[1，\frac{5}{3}]$．…（14分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的證明與應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．