Question

8．設p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0； q：實數x滿足$\frac{x-3}{x-2}$＜0．
（1）若a=1，且p∨q為真，求實數x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用一元二次不等式的解法可化簡命題p，q，若p∨q為真，則p，q至少有1個為真，即可得出；
（2）根據p是q的必要不充分條件，即可得出．

解答 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，
當a=1時，1＜x＜3，即p為真時實數x的取值范圍是1＜x＜3．…（2分）
q為真時$\frac{x-3}{x-2}＜0$等價于（x-2）（x-3）＜0，得2＜x＜3，…（4分）
即q為真時實數x的取值范圍是2＜x＜3．
若p∨q為真，則實數x的取值范圍是1＜x＜3．…（7分）
（2）p是q的必要不充分條件，等價于q⇒p且p推不出q，
設A={x|a＜x＜3a}，B={x|2＜x＜3}，則B?A；                 …（10分）
則$\left\{\begin{array}{l}0＜a≤2\\ 3a≥3\\ a=2與3a=3不同時取等號\end{array}\right.$，
所以實數a的取值范圍是1≤a≤2．…（14分）

點評 本題考查了簡易邏輯的有關知識、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和計算能力，屬于基礎題．